☛ * Inéquation produit - avec factorisation

Énoncé

Soit \(F(x)=9-4x^2\).
1. À l'aide d'une identité remarquable, factoriser \(F(x)\).
2. Dresser le tableau de signes de \(F(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
3. En déduire les solutions de l'inéquation \(F(x)<0\) dans \(\mathbb{R}\).

Solution

1. On utilise l'identité remarquable \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\).
\(F(x)=3^2-(2x)^2 = (3-2x)(3+2x)\).
2. On a : 
\(\begin{array}{ll}F(x)=0 & \Leftrightarrow 3-2x=0 \text{ ou } 3+2x=0\\ & \Leftrightarrow 3=2x \text{ ou } 2x=-3\\& \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2} \text{ ou } x= - \dfrac{3}{2}\\\end{array}\)
On peut construire le tableau de signes suivant : 

3. L'ensemble des solutions de \(F(x)<0\) est \(S=\left] -\infty ; -\dfrac{3}{2}\right[\cup \left] \dfrac{3}{2} ; +\infty\right[\).